4.1 จุด เส้นตรง ส่วนของเส้นตรง รังสีและมุม

4.1 จุด เส้นตรง ส่วนของเส้นตรง รังสีและมุม

1.  จุด (point)  ใช้สำหรับบอกตำแหน่ง

2.    เส้นตรง(Straight line)  มีความยาวไม่จำกัด มีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวเท่านั้นที่

ผ่านจุด 2 จุดที่กำหนด   เส้นตรงสองเส้นตัดกันที่จุดเดียวเท่านั้น

                          

3.    ส่วนของเส้นตรง (line segment) คือ ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลาย 2 จุด

4      รังสี(ray)  คือ ส่วนหนึ่งของเส้นตรงซึ่งมีจุดปลายเพียงจุดเดียว เช่น

        

ข้อสังเกต  การเรียกชื่อรังสีให้ใช้จุดปลายขึ้นก่อนเสมอเสมอ เช่น A เป็นจุดปลายเรียก

5.  มุม(angle) คือ รังสี 2 เส้นที่มีจุดปลายเป็นจุดเดียวกัน เรียกรังสี 2 เส้นนี้ว่า 

แขนของมุม และเรียกจุดปลายที่เป็นจุดเดียวกันว่า จุดอดของมุม (vertex)

มุมมี 5 ชนิดคือ มุมแหลม  มุมฉาก  มุมป้าน  มุมตรง  มุมกลับ

6.  การสร้างส่วนของเส้นตรงให้ยาวเท่ากับความยาวของส่วนของเส้นตรงที่กำหนด

(โดยใช้วงเวียนและวัสดุที่มีสันตรง)

7.    การแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรงที่กำหนดให้ (โดยใช้วงเวียนและวัสดุที่มีสัน

ตรง)   

  

8.  การสร้างมุมให้มีขนาดของมุมเท่ากับขนาดของมุมที่กำหนด

       

    

9.  การแบ่งมุม

    

10.   การสร้างมุมฉาก และมุมที่มีขนาด 45 องศา

ตัวอย่าง  จงสร้างมุม  ABC  ให้มีขนาด 90  องศา  และมุม  OBC  ให้มีขนาด  45  องศา ในรูปเดียวกัน

11.   การสร้างมุมขนาด 60 องศา

3.3 การนำไปใช้

3.3 การนำไปใช้

              ในการนำเลขยกกำลังไปใช้ส่วนใหญ่จะอยู่ในรูปของ การเขียนในรูปของสัญกรณ์

วิทยาศาสตร์ มีรูปเป็นดังนี้ A × 10ⁿ  และ n เป็นจำนวนเต็ม

ตัวอย่างที่ 1  จงเขียน 52,000,000 ให้อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์

วิธีทำ               52,000,000         =  52 × 1,000,000

ตอบ                                                             =   52 × 10⁶

3.2 การดำเนินการของเลขยกกำลัง

3.2 การดำเนินการของเลขยกกำลัง

การคูณเลขยกกำลัง

เมื่อ  a แทนจำนวนใดๆ m และ n แทนจำนวนใดๆ

จะได้ว่า aⁿ × a^m = a^n+m 

ตัวอย่างการคูณเลขยกกำลัง

ตัวอย่างที่ 1       2² × 2³ 

 วิธีทำ                                             2² × 2³ = 2²⁺³

  

                                                                   = 2⁵

ตอบ                               2⁵

      

ตัวอย่างที่ 2       -3² × 3³ 

 วิธีทำ     เนื่องจาก                               -3² = (-3) × (-3) 

                                                                    = 3²

                จะได้                               3² × 3³ = 3²⁺³

  

                                                                   = 3⁵

ตอบ                               3⁵    

 ตัวอย่างที่ 3            -3³ × 3² 

 วิธีทำ     จะได้                               -3³ × 3² = -3³⁺² = -3⁵

             เนื่องจาก                            -3³ × 3² = (-3) × (-3) × (- 3) ×3 × 3                                                  

    หมายเหตุ เครื่องหมายที่ออกมาให้ดูจากผลบวกของเลขยกกำลังว่าเป็นเลขคู่หรือเลขคี่ ถ้าคู่เป็นบวก

ถ้าคี่เป็นลบเสมอ

                จะได้                                            = -3⁵

ตอบ                              -3⁵    

การหารเลขยกกำลัง 

เมื่อ a แทนจำนวนใดๆ m และ n แทนจำนวนใดๆ

จะได้ว่า   a^m ÷ aⁿ = a^m-n

ตัวอย่างที่ 4       2³ ÷ 2² 

 วิธีทำ     เนื่องจาก                              2³ ÷ 2² = 2^3-2 

                                                                        = 2¹ = 2

ตอบ                          2

  

     

       

3.1 ความหมายของเลขยกกำลัง

3.1 ความหมายของเลขยกกำลัง

               การยกกำลัง คือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่ง เขียนอยู่ในรูป aⁿ ซึ่งประกอบด้วย

สองจำนวนคือ ฐาน a และ เลขชี้กำลัง (หรือ กำลัง) n การยกกำลังมีความหมายเหมือนการคูณซ้ำ ๆ กัน

คือ a คูณกันเป็นจำนวน n ตัว เมื่อ n เป็นจำนวนใดๆ

คล้ายกับการคูณซึ่งมีความหมายเหมือนการบวกซ้ำ ๆ กัน

               โดยปกติเลขชี้กำลังจะแสดงเป็นตัวยกอยู่ด้านขวาของฐาน จำนวน aⁿ อ่านว่า a ยกกำลัง n

หรือเพียงแค่ a กำลัง n ในภาษาอังกฤษอาจเรียกการยกกำลังบางตัวต่างออกไปเช่น a² จะเรียกว่า square

และ a³ เรียกว่า cube เป็นต้น เมื่อตัวยกไม่สามารถใช้ได้เช่นในข้อความแอสกี ก็มีรูปแบบการเขียนอย่าง

อื่นที่ใช้กันอาทิ a^n เป็นต้น


               เลขยกกำลัง aⁿ อาจนิยามให้ n เป็นจำนวนเต็มลบก็ได้เมื่อค่า a ไม่เป็นศูนย์ ตามปกติไม่

สามารถกระจายจำนวนจริง a กับ n ได้ทุก ๆ ค่าโดยธรรมชาติ แต่เมื่อฐาน a เป็นจำนวนจริงบวก จำนวน

aⁿ สามารถนิยามเลขชี้กำลัง n ได้ทุกค่าแม้แต่จำนวนเชิงซ้อนผ่านฟังก์ชันเลขชี้กำลัง e^z ฟังก์ชัน

ตรีโกณมิติก็สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการยกกำลังได้

ถ้า a ยกกำลังด้วย 1 จะเท่ากับตัวมันเอง

ถ้า a ยกกำลังด้วย 0 จะเท่ากับ 1 เสมอ 

ถ้า a ยกกำลังติดลบ จะเท่ากับ 1 ส่วนด้วย a ยกกำลังบวก


ตัวอย่างเลขยกกำลัง

a² = a × a × a

2³ = 2 × 2 × 2

-3³ = (-3) × (-3) × -(3)

-3⁴ = (-3) × (-3) × (-3) × (-3) = 3⁴

2^-2 = 1 / 2²

2.6 สมบัติของจำนวนเต็ม

2.6 สมบัติของจำนวนเต็ม

สมบัติของจำนวนเต็มแบ่งออกเป็น 6 ชนิด

1. สมบัติปิด (Closure Property)

     1.1 สมบัติปิดของการบวก ให้ a และ b เป็นจำนวนเป็นจำนวนเต็มใดๆแล้ว a + b เป็นจำนวนเต็ม

เช่น  2 + (-4) = -2 เป็นจำนวนเต็ม

     1.2 สมบัติปิดการคูณ

ให้ a และ b เป็นจำนวนเป็นจำนวนเต็มใดๆแล้ว a × b เป็นจำนวนเต็ม เช่น

        2 × (-4) = -8 เป็นจำนวนเต็ม

2.สมบัติการสลับที่(Commutative Property)

     2.1 สมบัติการสลับที่การบวก

     ให้ a และ b เป็นจำนวนเป็นจำนวนเต็มใดๆแล้ว a + b = b + a  เช่น

      12 + (-4) = 7    ,     (-4) + 12 = 8

   ดังนั้น 12 + (-4) = (-4) + 12

     2.2 สมบัติการสลับที่การคูณ

     ให้ a และ b เป็นจำนวนเป็นจำนวนเต็มใดๆแล้ว a × b = b × a เช่น

     7 × (-3)  = -21      ,        (-3) × 7 = -21

  ดังนั้น  7 × (-3)= (-3) × 7

3.สมบัติการเปลี่ยนหมู่(Associative Property)

     3.1 สมบัติการเปลี่ยนหมู่การบวก

     ให้ a,b และ c เป็นจำนวนเป็นจำนวนเต็มใดๆแล้ว (a + b) + c = a + (b + c)

นั่นคือ การบวกอาจหาผลลัพธ์จากกลุ่มใดก่อนก็ได้  เช่น

           [5 + (-9)] + 8 = (-4) + 8 = 4

           5 + [(-9) + 8] = 5 + (-1) = 4

           ดังนั้น [5+(-9)]+8 = 5+[(-9)+8]

3.1 สมบัติการเปลี่ยนหมู่การคูณ

ให้ a,b และ c เป็นจำนวนเป็นจำนวนเต็มใดๆแล้ว (a×b) ×c=a× (b×c)

นั่นคือ การคูณอาจหาผลลัพธ์จากกลุ่มใดก่อนก็ได้  เช่น

           [5 × (-3)] × (-4) = (-15) × (-4) = 60

           5 × [(-3) × (-4)] = 5 ×12 = 60

           ดังนั้น [5 × (-3)] × (-4) = 5 × [(-3) × (-4)]

4.เอกลักษณ์(Identity)

5.ผกผันการบวก(additive inverse)


6.สมบัติการแจกแจง(Distributive Property)

2.5 การหารจำนวนเต็ม

2.5 การหารจำนวนเต็ม

อธิบายเครื่องหมายที่เหลือจากการหาร

            ปกติแล้วเครื่องหมายที่เหลือจากการหารจะเหมือนการคูณ สรุปได้ดังนี้

                    (+)  (+)  =  +

                    (-)  (-)   =  +

          ส่วน   (-)  (+)  = (+)  (-)  =  -   นั่นเอง

               การหารจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มบวก   การหารจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มบวก เช่น

 6  3 หมายความว่า แบ่ง 6 ออกเป็น 3 ส่วนเท่า ๆ กัน ซึ่งจะได้ส่วนละ 2  หรือหมายความว่า 3 แบ่ง

ออกเป็นส่วนละ 3 จะได้ 2 ส่วน

  การหารจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มบวก
    จากหลักการ   

    ตัวตั้ง ตัวหาร  = ผลลัพธ์

    เช่น  20  5  =  4  ดังนั้น  20 = 5  4
 เราสมารถใช้หลัก "ตัวตั้ง  =  ตัวหาร ผลลัพธ์ " ไปหาผลหารของจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มบวกได้

 การหารจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มบวก

การหารจำนวนเต็ม  เมื่อตัวตั้งและตัวหารเป็นจำนวนเต็มลบทั้งคู่ให้นำค่าสัมบูรณ์มาหารกัน แล้วตอบ

เป็นจำนวนเต็มบวก  เช่น
1.  จงหาค่าของ  (-20) (-2)
วิธีทำ   เนื่องจาก ค่าสัมบูรณืของ -20   = 20
                      ค่าสัมบูรณ์ของ  - 2    =   2
 ดังนั้น  20   2    =  10
                    ตอบ  10
2.   จงหาค่าของ  (-20)(-5)
วิธีทำ   เนื่องจาก  ค่าสัมบูรณืของ  - 20  = 20
ค่าสัมบูร์ืของ  - 2   =   2
ดังนั้น 20 2   = 10
ตอบ   10

 

2.4 การคูณจำนวนเต็ม

2.4 การคูณจำนวนเต็ม

1.   การคูณจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มบวก

               การคูณจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มบวก  คือการคูณจำนวนนับด้วยจำนวนนับ   เช่น

2 × 5  =  2 + 2 + 2 +2 + 2  =  10

5 × 5  =  5  +  5  +  5  +  5  + 5  =    20

5 × 3  =  3 + 3 + 3 + 3 + 3   =  10

               การคูณจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มบวก  จะได้คำตอบเป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าสัมบูรณ์

ของสองจำนวนนั้น

2.   การคูณจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบ

               การคูณจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบ  สามารถหาผลคูณโดยใช้ความหมายของการคูณ

และการบวกจำนวนเต็มลบ  เช่น

3 × (-4)  =  (-4) + (-4) + (-4)   =  -12

2 × (-6)  =  (-6) + (-6)   =  -12

5 × (-8)  = (-8) + (-8) + (-8) + (-8) + (-8)   =  -40

               การคูณจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบ  จะได้คำตอบเป็นจำนวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์เท่า

กับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนั้น

3.     การคูณจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มบวก

               จำนวนเต็มมีสมบัติการสลับที่สำหรับการคูณ  ดังนั้นในการคูณจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็ม

บวกจึงหาผลคูณได้โดยใช้สมบัติการสลับที่  เช่น

                                       (-4) × 2   =  2  × (-4)

                                                      =  -8

                                       (-12) × 3 =  3 × (-12)

                                                      =  -36

                                        (-7) × 8  =  8 × (-7)

                                                      =  -56

               การคูณจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มบวกได้คำตอบเป็นจำนวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับ

ผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนั้น  

4.   การคูณจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มลบ

               การคูณจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มลบจะได้คำตอบเป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าสัมบูรณ์เท่า

กับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนั้น  เช่น

                                                            (-3) × (-6)  =  18

                                                            (-4) × (-8)  =  32

                                                            (-9) × (-3)  =  27

                การคูณจำนวนเต็มใดๆ ด้วยศูนย์กรือการคูณศูนย์ด้วยจำนวนเต็มมใดๆ  จะได้คำตอบเป็นศูนย์

นั่นคือ     a × 0  = 0 × a  =  0   เมื่อ  a  แทนจำนวนเต็มใดๆ

               การคูณจำนวนเต็มใดๆ ด้วยหนึ่งหรือการคูณหนึ่งด้วยจำนวนเต็มใดๆ จะได้คำตอบเป็นจำนวน

เต็มนั้นเสมอ นั่นคือ      a × 1 = 1 × a = a  เมื่อ  a  แทนจำนวนเต็มใดๆ

เมื่อ a และ  b  แทนจำนวนใดๆ  ในทางคณิตศาสตร์อาจเขียนแทน  a × b ด้วย  a • b หรือ  ab  หรือ  (a)

(b)  เช่น

                                        3 • 6  หมายถึง     3 × 6

                                 2(-4)(-6)   หมายถึง     2 × (-4) × (-6)

ตัวอย่างที่ 1     จงหาผลคูณ  (-15) × (-5)

วิธีทำ              (-15) × (-5)   =  75

ตอบ    75


ตัวอย่างที่ 2    จงหาผลคูณ     (-10) • 10

วิธีทำ             (-10) • 10  =  -100

ตอบ   -100

ตัวอย่างที่  3    จงหาผลคูณ   [(-20)(-2)](-3)

วิธีทำ              [(-20)(-2)](-3)   =  40(-3)

                                                  =  -120

ตอบ    -120

ตัวอย่างที่ 4   จงหาผลคูณ     7(-6x)   เมื่อแทน x ด้วย -3

วิธีทำ               7(-6x)   =   7[(-6)(-3)]

                                      =   7 × 18

                                      =   126

ตอบ     126

2.3 การลบจำนวนเต็ม

2.3 การลบจำนวนเต็ม

           การลบจำนวนเต็ม เราอาศัยการบวกตามข้อตกลงคือให้เปลี่ยนการกระทำลบเป็นการ

กระทำบวกด้วยจำนวนตรงข้ามของตัวลบ ดังนี้

ตัวตั้ง - ตัวลบ = ตัวตั้ง + จำนวนตรงข้ามของตัวลบ

นั่นคือ เมื่อ a และ b แทนจำนวนใดๆ

a - b = a + จำนวนตรงข้ามของ b หรือ a - b = a + (-b)

ตัวอย่าง     4 - 2    = 4 + (-2)

               

                 2 - 4    = 2 + (-4)

               

               (-7) -3    = (-7) + (-3)

               

              (-5) - (-9) = (-5) + 9

                  

                23 - (-3) = 23 + 3

เมื่อเขียนการลบให้อยู่ในรูปการบวกแล้ว

จึงหาผลบวกของจำนวนเต็มตามวิธีดังกล่าว ดังตัวอย่างต่อไปนี้

          ตัวอย่าง

1. 12 - 18 = ?

วิธีทำ   เนื่องจาก ตัวตั้ง = 12
               

                       ตัวลบ = 18

ดังนั้น   12 - 18 = 12 + จำนวนตรงข้ามของ 18

                      = 12 + ( - 18)
                

                      = - 6

____________________________________________________________________

 

2. (- 4) - ( - 8) = ?

วิธีทำ   เนื่องจากตัวตั้ง = (- 4 )
  

                        ตัวลบ= ( - 8 )

 

ดังนั้น (- 4 ) - (- 8 ) = (- 4 ) + จำนวนตรงข้ามของ( - 8)

                              = (- 4 ) + 8 

                             = 4

2.2 การบวกจำนวนเต็ม

2.2 การบวกจำนวนเต็ม

               การบวกจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มบวกและการบวกจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มลบ   มีหลักเกณฑ์ ดังนี้

      1. การบวกจำนวนเต็มบวก การหาผลบวกของจำนวนเต็มบวก ให้นำค่าสัมบูรณ์มาบวกกันแล้วตอบเป็นจำนวนบวก

     2. การบวกจำนวนเต็มลบ การหาผลบวกของจำนวนเต็มลบ ให้นำค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มลบมาบวกกัน แล้วตอบเป็นจำนวนเต็มลบ
     3. การบวกระหว่างจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ การหาผลบวกระหว่างจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ ให้นำค่าสัมบูรณ์มาลบกัน แล้วตอบเป็นจำนวนเต็มบวกหรือลบ ตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า เช่น

1. 2 + ( - 10)      =      - 8

2. (- 3 ) + 12      =        9
              3. (- 9) + 6 + ( - 5 )      =      (-3) + (- 5)

                                    =     - 8

4. 14 + (- 8) + (- 6)     =      6 + (- 6)

                                                 =        0

ตัวอย่างที่ 1     จงหาผลบวก 9 +5

                วิธีทำ         9 + 5   =     14 

                ตอบ         14

ตัวอย่างที่ 2      จงหาผลบวก (-9) + (-5)

                 วิธีทำ          (-9) + (-5)     =    -14

                ตอบ        -14  

             

          การบวกจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบและการบวกจำนวนเต็มลบด้วยเต็มบวก  

              การบวกระหว่างจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์ไม่เท่ากัน ให้นำค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าลบด้วยค่าสัมบูรณ์ที่น้อยกว่า แล้วตอนเป็นจำนวนเต็มบวกหรือจำนวนเต็มลบตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า  

หลักเกณฑ์การบวกจำนวนเต็ม

    1. การบวกจำนวนเต็มบวก การหาผลบวกของจำนวนเต็มบวก ให้นำค่าสัมบูรณ์มาบวกกันแล้วตอบเป็นจำนวนบวก

    2. การบวกจำนวนเต็มลบ การหาผลบวกของจำนวนเต็มลบ ให้นำค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มลบมาบวกกัน แล้วตอบเป็นจำนวนเต็มลบ

    3. การบวกระหว่างจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์ไม่เท่ากันให้นำค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าลบด้วยค่าสัมบูรณ์ที่น้อยกว่า แล้วตอบเป็นจำนวนเต็มบวกหรือจำนวนเต็มลบตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า

    4. การบวกระหว่างจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากันผลบวกเท่ากับศูนย์

    สำหรับการบวกจำนวนเต็มใดๆ ด้วยศูนย์ หรือการบวกด้วยศูนย์ด้วยจำนนเต็มใดๆ จะได้ผลบวกเท่ากับจำนวนเต็มนั้นเสมอ

นั่นคือ a + 0 = 0 + a = a เมื่อ a แทนจำนวนเต็มใดๆ

         

 ตัวอย่างที่ 1    จงหาผลบวก 32 + (-17)

                   วิธีทำ             32 + (-17)    =     15

       ตอบ       15

 ตัวอย่างที่ 2    จงหาผลบวก 17 + (32) 

                    วิธีทำ            17 + (32)      =     -15

          ตอบ              -15

ตัวอย่างที่ 3     จงหาผลบวก 25 + (-25)

                   วิธีทำ             25 + (-25)    =    0

        ตอบ           0