1.3 พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกรวยและทรงกลม

พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกรวยและทรงกลม

   
พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกรวย     

          กรวย คือ ทรงสามมิติที่มีฐานเป็นรูปวงกลม มียอดแหลมที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกับฐาน

และเส้นที่ต่อระหว่างจุดยอดกับจุดใด ๆ บนเส้นรอบวงของฐาน เรียกเส้นตรงนี้ว่า
“สูงเอียง”

พื้นที่ผิวของกรวย

          การหาพื้นที่ผิวเอียงของกรวย ทำได้โดยตัดกรวยตามแนวสูงเอียงแล้วคลี่แผ่ออกจะเกิดเป็น

รูปสามเหลี่ยมฐานโค้ง

ปริมาตรของกรวย

          ความสัมพันธ์ของปริมาตรของกรวยกับทรงกระบอก จะเหมือนกับความสัมพันธ์ของปริซึมกับ

พีระมิด ที่มีส่วนสูงและพื้นที่ฐานเท่ากัน นั่นคือ ปริมาตรของกรวย เป็น 1 ของปริมาตรของทรงกระบอก

                                                                                                               3

ที่มีพื้นที่ฐานและส่วนสูงเท่ากับกรวย

ตัวอย่างที่

6  จงหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของกรวย ซึ่งสูง 24 เซนติเมตร และเส้นผ่านศูนย์กลาง 14

เซนติเมตร

วิธีทำ 



พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกลม

          ทรงกลม คือ ทรงสามมิติที่มีผิวโค้งเรียบ และจุดทุกจุดอยู่บนผิวโค้งอยู่ห่างจากจุดคงที่จุด

หนึ่งเป็นระยะเท่ากัน

                             จุดคงที่ เรียกว่า จุดศูนย์กลางของทรงกลม

                             ระยะที่เท่ากัน เรียกว่า รัศมีของทรงกลม

พื้นที่ผิวของทรงกลม

          พื้นที่ผิวของทรงกลม เป็นสี่เท่าของพื้นที่วงกลม ซึ่งมีรัศมีเท่ากับรัศมีของทรงกลม



ปริมาตรของทรงกลม

          ปริมาตรของทรงกลมอาจหาได้จากการทดลองหาความสัมพันธ์ระหว่างปริมาตรของครึ่ง

วงกลมกับปริมาตรของกรวย

ข้อกำหนด

1) ครึ่งของทรงกลมที่มีรัศมี r หน่วย

2)

กรวยที่มีรัศมีเท่ากับครึ่งทรงกลม r หน่วย และส่วนสูงของกรวย (h) เป็น 2 เท่าของรัศมี ฐาน

ของกรวย คือ 2 r หน่วย

ตัวอย่างที่

7   จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของลูกโลกพลาสติก ซึ่งมีรัศมียาว 7 เซนติเมตร
วิธีทำ 

1.2 ปริมาตรของปริซึมและทรงกระบอก

ปริมาตรของปริซึมและทรงกระบอก

           

พื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิด

          พีระมิด คือ ทรงสามมิติที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมใดๆ มียอดแหลม ซึ่งไม่อยู่ในระนาบเดียวกับ

ฐาน และหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยม ที่มีจุดยอดร่วมกันที่ยอดแหลม

ลักษณะของพีระมิดตรง

    1.

หน้าของพีระมิดตรงเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

   
    2.

สันของพีระมิดตรงจะยาวเท่ากันทุกเส้น

    3.

ความสูงเอียงของพีระมิดตรง ด้านเท่า มุมเท่า จะยาวเท่ากันทุกเส้น

    4.

ปริมาตรของพีระมิด เป็นหนึ่งในสามของปริมาตร ปริซึมที่มีฐานเท่ากับพีระมิด และมีส่วนสูงเท่ากับ
พีระมิด

ตัวอย่างที่ 1

  พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้า กว้าง 10 เซนติเมตร ยาว 18 เซนติเมตร และความสูงของ

พีระมิดเป็น

12 เซนติเมตร จงหาความสูงเอียงของพีระมิดทั้งสองด้าน

 

 

ตัวอย่างที่ 2

   พีระมิดแห่งหนึ่งมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาวด้านละ 6 เมตร สูงเอียง 5 เมตร และ

สูงตรง

4 เมตร จงหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิด

วิธีทำ

ตัวอย่าง  จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของปริซึมสี่เหลี่ยมด้านขนาน

วิธีทำ  ปริมาตรของปริซึม  =  พื้นที่ฐาน ´ สูง

=  (ฐาน ´ สูง) ´ สูง

=  (7 ´ 3) ´ 12

=  252    ลูกบาศก์เซนติเมตร

พื้นที่ด้านข้าง  =  ความยาวรอบรูป ´ สูง

=  (7 + 5 + 7 + 5) ´ 12

=  288    ตารางเซนติเมตร

พื้นที่หัวท้าย  =  2 (7 ´ 3)

=  42      ตารางเซนติเมตร

ดังนั้น พื้นที่ผิวของปริซึมเท่ากับ 288 + 42  =  330    ตารางเซนติเมตร

ปริมาตรทรงกระบอก

   รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานทั้งสองเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการและอยู่บนระนาบที่ขนานกัน เมื่อตัดรูปเรขาคณิตสามมิตินั้นด้วยระนาบที่ขนานกับฐานแล้ว หน้าตัดที่ได้จะเป็นวงกลมที่เท่ากันทุกประการกับฐานเสมอ เรียกรูปเรขาคณิตสามมิตินั้นว่า ทรงกระบอก

ปริมาตรของทรงกระบอก  =  พื้นที่ฐาน ´ สูง

      =  pr² ´ h

      =  pr²h

เมื่อ  r  แทนรัศมีของวงกลมที่เป็นฐาน

        h  แทนความสูงของทรงกระบอก

สรุปลักษณะรูปคลี่ของทรงกระบอก ดังนี้

รูปคลี่ของทรงกระบอกว่าประกอบด้วย



         -  ส่วนที่เป็นวงกลมสองวง เรียกว่า พื้นที่หน้าตัดหรือพื้นที่ฐาน

-  ส่วนที่เป็นผิวข้าง เมื่อตัดออกมาจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก

         ถ้าทรงกระบอกมีความสูง hหน่วย ฐานทรงกระบอกมีรัศมี rหน่วย จะได้เส้นรอบรูปวงกลมยาว 2pr หน่วย  

ดังนั้น พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก  =  2prh ตารางหน่วย

    พื้นที่ฐานสองหน้า  =  2 ´ (pr²)

       =  2pr² ตารางหน่วย

การหาพื้นที่ผิวของทรงกระบอกหาได้จากสูตร

 พื้นที่ผิวทรงกระบอก  =  พื้นที่ผิวโค้ง + พื้นที่ฐานสองหน้า

     =  2prh + 2pr²

     =  2pr(h + r)

ตัวอย่างที่ 1   แก้วน้ำทรงกระบอกใบหนึ่งวัดเส้นผ่านศูนย์กลางภายในได้ 7 เซนติเมตร ใส่น้ำได้ลึก 21 เซนติเมตร น้ำ   

แก้วพอดี จงหาความจุของแก้วน้ำใบนี้

วิธีทำ                   

ตัวอย่างที่ 2   ท่อนไม้ทรงกระบอกอันหนึ่ง หน้าตัดมีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากับ 14 เซนติเมตร ยาว 0.72 เมตร จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของไม้ท่อนนี้

วิธีทำ       

ตัวอย่างที่ 4 ทรงกระบอกอันหนึ่งมีพื้นที่ผิวข้าง 91p  ตารางเซนติเมตร และพื้นที่ฐาน 10.5625p ตารางเซนติเมตร จงหาปริมาตรของทรงกระบอกนี้ (p » 3.14)

วิธีทำ                 

ตัวอย่างที่ 5 ถังทรงกระบอกใบหนึ่งมีปริมาตร 27,783 ลูกบาศก์เซนติเมตร พื้นที่ผิวข้าง 2,646 ตารางเซนติเมตร จงหาพื้นที่ก้นถังใบนี้

วิธีทำ  

1.1 รูปเรขาคณิตสามมิติ

รูปเรขาคณิตสามมิติ

บทนิยาม

          ปริซึม คือ รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานทั้งสองเป็นรูปเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ ฐานทั้ง
สองอยู่คนละระนาบที่ขนานกัน และด้านข้างแต่ละด้านเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

          การเรียกชื่อปริซึม จะเรียกตามฐานของปริซึม เช่น ฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส เรียกว่า
ปริซึมสี่เหลี่ยมจัตุรัส ฐานเป็นห้าเหลี่ยม เรียกว่า ปริซึมห้าเหลี่ยม เป็นต้น

       
          ทรงกระบอก คือ รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานทั้งสองเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการ
และอยู่บนระนาบที่ขนานกัน และเมื่อตัดรูปเรขาคณิตสามมิตินั้นด้วยระนาบที่ขนานกับฐานแล้ว จะ

ได้หน้าตัดเป็นวงกลมที่เท่ากันทุกประการกับฐานเสมอ

          พีระมิด คือ รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมใดๆ แต่มียอดแหลมที่ไม่อยู่บน
ระนาบเดียวกับฐาน และหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกันที่ยอดแหลมนั้น

         
          กรวย คือ รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นวงกลมแต่มียอดแหลมที่ไม่อยู่บนระนาบเดียว
กันกับฐาน และเส้นที่ต่อระหว่างจุดยอดและจุดใดๆ บนขอบของฐานเป็นส่วนของเส้นตรง

          ทรงกลม คือ รูปเรขาคณิตที่มีผิวโค้งเรียบ และจุดทุกจุดบนผิวโค้งอยู่ห่างจากจุดคงที่จุด
หนึ่งเป็นระยะที่เท่ากัน จุดคงที่จุดนั้นเรียกว่า จุดศูนย์กลางของทรงกลม ระยะที่เท่ากัน

นั้นเรียกว่า รัศมีของทรงกลม

การเรียกส่วนประกอบของรูปทรงสามมิติ

ปริซึม

ทรงกระบอก

พีระมิด

กรวย

ทรงกลม

ตัวอย่างที่ 1   รูปคลี่ต่อไปนี้เป็นปริซึมชนิดใด

เฉลยตัวอย่าง 1
                คำตอบ   1.1 ปริซึมฐานสามเหลี่ยม
                คำตอบ   1.2 ปริซึมฐานห้าเหลี่ยม
                คำตอบ   1.3 ปริซึมฐานหกเหลี่ยม________________________________________________________________________

ตัวอย่าง 2        รูปในข้อใดต่อไปนี้เป็นปริซึม

เฉลยตัวอย่าง
2
          คำตอบ ข้อ ข และ ค โดยที่รูป ข เป็นปริซึมฐานสี่เหลี่ยมคางหมู และ รูป ค เป็นปริซึม
ฐานหลายเหลี่ยม
_______________________________________________________________________

ตัวอย่างที่ 3    รูปคลี่ต่อไปนี้รูปใดเป็นทรงกระบอก

เฉลยตัวอย่าง 3          
          คำตอบ ข้อ ก และ ง

1.5 ร้อยละ

ร้อยละ

            นักเรียนเคยคำนวณโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับร้อยละมาแล้ว โดยไม่ได้ใช้สัดส่วน ต่อไปนี้จะเป็นการ

นำความรู้เรื่องสัดส่วนมาใช้คำนวณเกี่ยวกับร้อยละ ซึ่งจะพบใน 3 ลักษณะ ดังตัวอย่างต่อไปนี้

 1. 25% ของ 60 เท่ากับเท่าไร หมายความว่า ถ้ามี 25 ส่วนใน 100 ส่วน แล้วจะมีกี่ส่วนใน 60 ส่วน
   
               ให้มี a ส่วนใน 60 ส่วน
                  เขียนสัดส่วนได้ ดังนี้
      
                                      จะได้
        
                                                  
       
                              ดังนั้น            
          
                นั่นคือ 25% ของ 60 คือ 15

การแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับร้อยละ

              ให้นักเรียนพิจารณาตัวอย่างโจทย์และวิธีแก้ปัญหาโจทย์เกี่ยวกับร้อยละ โดยใช้สัดส่วนต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1     โรงเรียนแห่งหนึ่งมีนักเรียน 1,800 คน นักเรียนที่หนักเกิน 60 กิโลกรัม 81 คน จงหาว่า

จำนวนนักเรียนที่หนักเกิน 60 กิโลกรัม คิดเป็นกี่เปอร์เซ็นต์ของ จำนวนนักเรียนทั้งหมด

วิธีทำ       ให้จำนวนนักเรียนที่หนักเกิน 60 กิโลกรัม เป็น x% ของจำนวนนักเรียนทั้งหมด

                             เขียนสัดส่วนได้ดังนี้
                                               
                                        จะได้  
                                                  
                                                                    

                                    ดังนั้น                      
     
    นั่นคือ จำนวนนักเรียนที่หนักเกิน 60 กิโลกรัม คิดเป็น 4.5% ของจำนวนนักเรียนทั้งหมด
    
      ตอบ 4.5 เปอร์เซ็นต์

ตัวอย่างที่ 2     ร้านทำเครื่องเรือนแห่งหนึ่งรับเหมาทำโต๊ะ และม้านั่งนักเรียนให้แก่โรงเรียนแห่งหนึ่งเป็น

เงิน 28,600 บาท ปรากฏว่ามีกำไร 10% อยากทราบว่าต้นทุนของการทำโต๊ะและม้านั่งนี้เป็นเท่าไร

วิธีทำ        ให้ต้นทุนของโต๊ะและม้านั่งเป็นเงิน x บาท
                อัตราส่วนของต้นทุนต่อค่ารับเหมาทำโต๊ะและม้านั่ง เป็น

ได้กำไร 10% แสดงว่าต้นทุน 100 บาท ต้องคิดค่ารับเหมา 110 บาท
               จะได้อัตราส่วนของต้นทุนต่อค่ารับเหมาทำโต๊ะและม้านั่ง เป็น
          
           เขียนอัตราส่วนได้ดังนี้     
   
                                       จะได้    
  
                                                                 

                                 ดังนั้น                       

       นั่นคือ ต้นทุนของโต๊ะและม้านั่งเป็น 26,000 บาท
  
      ตอบ 26,000 บาท

1.4 สัดส่วน

สัดส่วน

          ในชีวิตประจำวัน นักเรียนจะเห็นว่าเราเกี่ยวข้องกับร้อยละอยู่เสมอ เช่น การซื้อขาย กำไรขาดทุน

การลดหรือการเพิ่มที่คิดเป็นร้อยละ การคิดภาษีมูลค่าเพิ่ม ฯลฯ
             
      ให้นักเรียนพิจารณาข้อความต่อไปนี้

“เต้ยขายนาฬิกาเรือนหนึ่งได้กำไร 20%”

          ข้อความข้างต้น มีความหมายว่า ถ้าเต้ยซื้อนาฬิกามาในราคา 100 บาท เต้ยจะขายนาฬิกาเรือนนี้

ได้ในราคา 120  ทำให้ได้กำไร 20 บาท
ดังนั้น อัตราส่วนของกำไรต่อราคาซื้อ เป็น  หรือ  จะเห็นว่าเราสามารถเขียน ร้อยละ 20 หรือ 20% ในรูปของอัตราส่วนได้ เป็น  หรือ  

คำว่า ร้อยละ หรือ เปอร์เซ็นต์ เป็นอัตราส่วนแสดงการเปรียบเทียบปริมาณใดปริมาณหนึ่งต่อ 100 เช่น
              ร้อยละ 50 หรือ 50% เขียนแทนด้วย หรือ
              ร้อยละ 7 หรือ 7% เขียนแทนด้วย  หรือ

การเขียนอัตราส่วนใดให้อยู่ในรูปร้อยละ จะต้องเขียนด้วยอัตราส่วนนั้นให้อยู่ในรูปที่มีจำนวนหลังของ

อัตราส่วนเป็น 100 แล้วจะได้จำนวนแรกของอัตราส่วนเป็นค่าร้อยละที่ต้องการ เช่น

 

           การเขียนร้อยละให้เป็นอัตราส่วนทำได้โดยเขียนเป็นอัตราส่วนที่มีจำนวนแรกเป็นค่าของร้อยละ

และจำนวนหลังเป็น 100 ดังตัวอย่างต่อไปนี้